Lyapunov Stability

研究动力系统时，求出平衡点只是第一步。真正的问题是：初始状态受到一点扰动后，轨迹会留在附近、回到平衡点，还是离开？Lyapunov 稳定性用轨迹的性质回答这些问题；Lyapunov 方法则进一步寻找无需显式求解微分方程的判据。

先考虑自治系统

$$ \dot x=f(x),\qquad x\in D\subseteq\mathbb R^n, $$

其中 $D$ 是包含原点的开集，$f$ 局部 Lipschitz，且 $f(0)=0$。因此原点是平衡点，初值问题有唯一的局部解。记解为 $x(t;t_0,x_0)$，默认 $\|\cdot\|$ 为欧氏范数。其他平衡点 $x_e$ 可通过 $z=x-x_e$ 移到原点。下文所有稳定性结论都针对原点；涉及无限时间的定义都要求相应轨迹向前存在。

Definition 1 (Lyapunov Stability, Lyapunov 稳定). The equilibrium $x=0$ is stable if, for every $\varepsilon\gt 0$, there exists $\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0$ such that

$$ \|x_0\|\lt \delta \quad\Longrightarrow\quad \|x(t;t_0,x_0)\|\lt \varepsilon,\qquad t\geq t_0. $$

For an autonomous system, the choice of $\delta$ is independent of $t_0$.

这里的顺序很重要：先指定允许偏离的范围 $\varepsilon$，再寻找足够小的初始扰动范围 $\delta$。稳定只要求“始终不离开”，没有要求“最终回来”。例如 $\dot x=0$ 的每条轨迹都停在初值处，原点稳定，但非零初值不会收敛到原点。

Definition 2 (Attractivity and Asymptotic Stability, 吸引性与渐近稳定). The origin is locally attractive if there exists $r\gt 0$ such that

$$ \|x_0\|\lt r\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty}x(t;t_0,x_0)=0. $$

It is locally asymptotically stable (LAS) if it is both stable and locally attractive. Its region of attraction is

$$ \mathcal A(0)=\{x_0\in D:x(t;0,x_0)\text{ exists for all }t\geq0, \ \lim_{t\to\infty}x(t;0,x_0)=0\}. $$

吸引性描述长期终点，稳定性控制整个过程。渐近稳定同时要求这两件事，不能只从轨迹最终回到原点就省略稳定性的检查。对于 $\dot x=-x$，解为 $x(t)=e^{-(t-t_0)}x_0$，两者都成立。

Definition 3 (Instability, 不稳定). The origin is unstable if it is not stable. Equivalently, there exists $\varepsilon_0\gt 0$ such that, for every $\delta\gt 0$, one can find an initial state $\|x_0\|\lt \delta$ and a time $t\geq t_0$ for which

$$ \|x(t;t_0,x_0)\|\geq\varepsilon_0. $$

因此，不稳定不是“不收敛”的同义词。$\dot x=0$ 不渐近稳定，却仍然稳定；$\dot x=x$ 才会把任意小的非零初值逐渐放大，并离开某个固定邻域。

定义直接谈论所有附近轨迹，逐条求解通常不可行。一个替代思路是给状态赋予标量“能量” $V(x)$：如果能量能够衡量离原点的距离，并且沿轨迹不增加，就能限制轨迹的位置。

Definition 4 (Positive Definiteness and a Lyapunov Candidate, 正定性与候选函数). A continuous function $V:D\to\mathbb R$ is positive definite if

$$ V(0)=0,\qquad V(x)\gt 0\quad\text{for }x\in D\setminus\{0\}. $$

A continuously differentiable, positive definite function is called a Lyapunov candidate. Its derivative along the system is

$$ \dot V(x)=\nabla V(x)^\top f(x). $$

It becomes a Lyapunov function for a stability criterion once the required derivative conditions are verified.

候选函数只是待验证的证书。正定性把 $V=0$ 与原点对应起来；导数条件才说明这个标量与系统运动方向是否相容。对二次型 $V(x)=x^\top Px$，正定性等价于对称矩阵 $P$ 满足 $P\succ0$。

Theorem 5 (Local Lyapunov Criterion, 局部 Lyapunov 判据). Let $V\in C^1(D)$ be positive definite.

If $\dot V(x)\leq0$ on $D$, then the origin is stable.
If $\dot V(x)\lt 0$ on $D\setminus\{0\}$, then the origin is locally asymptotically stable.

证明稳定性的几何关键是构造一个无法向外穿出的能量区域。取闭球 $\overline B_r\subset D$，由正定性和紧性，球面上有

$$ m_r=\min_{\|x\|=r}V(x)\gt 0. $$

选择 $0\lt c\lt m_r$，再把初值限制到足够小，使 $V(x_0)\lt c$。由于 $V$ 沿轨迹不增加，轨迹无法到达能量至少为 $m_r$ 的球面。严格负导数进一步排除了非零状态长期停留的可能。

这也说明：$\dot V\leq0$ 一般只能给出稳定，不能直接推出渐近稳定。例如

$$ \dot x_1=-x_2,\qquad\dot x_2=x_1, \qquad V=\tfrac12(x_1^2+x_2^2) $$

满足 $\dot V=0$，非零轨迹却始终绕原点旋转。

严格负导数是方便的充分条件，但机械系统常常只耗散某些方向的能量。此时 $\dot V$ 在一整片集合上等于零，我们需要继续问：轨迹真的能一直留在那里吗？先把能量的几何结构说清楚。

Definition 6 (Level Surface and Sublevel Set, 等值面与子水平集). For $c\in\mathbb R$, define

$$ S_c=\{x\in D:V(x)=c\},\qquad \Omega_c=\{x\in D:V(x)\leq c\}. $$

If $\nabla V(x)\neq0$ at every point of $S_c$, then $S_c$ is a regular level surface, locally a smooth hypersurface of dimension $n-1$.

“surface”不是任意等值集都自动具有的光滑性质，临界值处可能出现奇点。真正用于困住轨迹的通常是子水平集 $\Omega_c$；正则等值面则让边界上向量场朝内或相切的图像更直观。

Definition 7 (Positive Invariance and Invariance, 正向不变与不变). A set $\Omega$ is positively invariant if every solution starting in $\Omega$ remains in $\Omega$ for all future times. A set $M$ is invariant if every point of $M$ lies on a complete trajectory contained in $M$ for all $t\in\mathbb R$.

在自治、解唯一的情形中，不变性描述沿流向前和向后都留在集合内；正向不变只控制未来。若 $\Omega_c$ 紧包含于 $D$，且 $\dot V\leq0$ 在其某个邻域成立，则能量不增加保证 $\Omega_c$ 正向不变。紧性还阻止有限时间逃逸，使其中轨迹向前完整。

Theorem 8 (LaSalle’s Invariance Principle, LaSalle 不变原理). Let $\Omega\subset D$ be compact and positively invariant. Suppose $V\in C^1(D)$ satisfies $\dot V\leq0$ on $\Omega$. Set

$$ E=\{x\in\Omega:\dot V(x)=0\}, $$

and let $M$ be the largest invariant subset of $E$. Then every solution starting in $\Omega$ satisfies

$$ \lim_{t\to\infty}\operatorname{dist}(x(t),M)=0, \qquad \operatorname{dist}(x,M)=\inf_{z\in M}\|x-z\|. $$

这里不要求 $V$ 正定；原理本身给出的是趋近集合 $M$。若另外有正定的 $V$ 保证原点稳定，并能在一个包含原点邻域的紧子水平集中证明 $M=\{0\}$，才得到局部渐近稳定。趋近一个集合也不意味着一定收敛到其中某个点。

证明思路是：$V(x(t))$ 单调且有下界，因此趋于某个常数；有界轨迹的 $\omega$ 极限集非空、紧且不变，$V$ 在其上恒定，所以它包含在 $E$ 中，进而包含在 $M$ 中。

例如阻尼振子

$$ \dot q=v,\qquad\dot v=-q-dv,\qquad d\gt 0 $$

的自然能量为

$$ V(q,v)=\tfrac12(q^2+v^2),\qquad\dot V=-dv^2. $$

零导数集合是整条直线 $E=\{v=0\}$，不能直接使用严格负导数判据。但若轨迹始终满足 $v=0$，则还必须满足 $\dot v=-q=0$，所以只能是原点。最大的“不再耗散且能持续运动”的不变集就是 $\{0\}$。这一步把能量耗散与系统动力学结合起来。

Extensions: Global, Uniform, and Exponential Stability

局部分析只需困住足够小的初值。要覆盖任意初值，我们需要保证每个初值都能装进某个紧的能量区域。仅有正定性并不足够，因为远处的状态也可能具有有限甚至很小的能量。

Definition 1 (Global Asymptotic Stability and Radial Unboundedness, 全局渐近稳定与径向无界). The origin is globally asymptotically stable (GAS) if it is stable and every initial state in $\mathbb R^n$ generates a forward-complete solution converging to zero. A continuous function $V:\mathbb R^n\to\mathbb R$ is radially unbounded if

$$ \|x\|\to\infty\quad\Longrightarrow\quad V(x)\to\infty. $$

径向无界（radially unbounded，也称 coercive）保证所有有限子水平集紧。例如 $V(x)=\|x\|^2$ 径向无界，而 $V(x)=\|x\|^2/(1+\|x\|^2)$ 虽然正定，却在无穷远趋于 $1$。后者不代表系统一定不稳定，只表示不能直接用径向无界的全局判据。

Theorem 2 (Global Lyapunov and LaSalle Criteria, 全局判据). Suppose $f$ is locally Lipschitz on $\mathbb R^n$, $f(0)=0$, and $V\in C^1(\mathbb R^n)$ is positive definite and radially unbounded.

If $\dot V(x)\lt 0$ for all $x\neq0$, then the origin is GAS.
If $\dot V(x)\leq0$ everywhere and the largest invariant subset of $\{x:\dot V(x)=0\}$ is $\{0\}$, then the origin is GAS.

对任意 $x_0$，选 $c\gt V(x_0)$。轨迹被限制在紧集 $\Omega_c$ 中，既不能逃向无穷远，也不会有限时间终止；随后应用局部的稳定性论证和 LaSalle 即可。上面的阻尼振子满足这些全局条件，所以实际上是 GAS。

局部性确实不能省略。例如 $\dot x=-x+x^3$ 在原点附近满足 $x\dot x\lt 0$，但 $x=\pm1$ 也是平衡点，且 $|x|\gt 1$ 时轨迹向外运动。因此原点 LAS，却不是 GAS，其吸引域为 $(-1,1)$。

GAS 说明所有初值最终回到原点，却没有给出具体需要多长时间。为了讨论可靠的时间估计，需要先区分两个问题：估计是否依赖“何时出发”，以及误差究竟“以什么速率衰减”。前者是一致性，后者才是收敛速率。

自治系统没有绝对时间依赖，初始时刻可以平移。为了让一致性成为实质条件，暂时考虑

$$ \dot x=f(t,x),\qquad f(t,0)=0,\qquad t\geq0, $$

并假设 $f$ 连续，且在紧时间区间上关于 $x$ 局部一致 Lipschitz，从而初值问题适定。

Definition 3 (Uniform Stability and Uniform Asymptotic Stability, 一致稳定与一致渐近稳定). The origin is uniformly stable if, for every $\varepsilon\gt 0$, there exists $\delta(\varepsilon)\gt 0$, independent of $t_0\geq0$, such that

$$ \|x_0\|\lt \delta(\varepsilon) \Longrightarrow \|x(t;t_0,x_0)\|\lt \varepsilon,\qquad t\geq t_0. $$

It is uniformly asymptotically stable (UAS) if it is uniformly stable and there exists $r\gt 0$ such that, for every $\varepsilon\gt 0$, some $T(\varepsilon)\gt 0$, independent of $t_0$ and $x_0$, satisfies

$$ \|x_0\|\lt r,\quad t\geq t_0+T(\varepsilon) \Longrightarrow\|x(t;t_0,x_0)\|\lt \varepsilon. $$

It is uniformly globally asymptotically stable (UGAS) if it is uniformly stable, all solutions are forward complete, and the attraction condition holds on every ball $\|x_0\|\leq R$, with $T=T(\varepsilon,R)$ independent of $t_0$.

普通非自治稳定允许 $\delta$ 随 $t_0$ 改变，普通吸引性也允许等待时间依赖初始时刻。一致性要求同一套估计适用于所有出发时刻，以及指定初值范围中的全部轨迹。对自治系统，LAS 自动具有局部的一致性，GAS 自动具有上述全局一致性；但仍然不意味着指数衰减。

一个具体区别是

$$ \dot x=-\frac{x}{1+t},\qquad x(t;t_0,x_0)=x_0\frac{1+t_0}{1+t}. $$

它一致稳定，并且对每个固定 $t_0$ 都吸引到原点。然而固定等待时长 $T$ 后的衰减比为 $(1+t_0)/(1+t_0+T)$，当 $t_0\to\infty$ 时趋于 $1$，所以不一致渐近稳定。

Theorem 4 (Uniform Lyapunov Criterion, 一致 Lyapunov 判据). Let $V\in C^1([0,\infty)\times B_r)$ and suppose there exist continuous positive definite functions $W_1,W_2$ such that

$$ W_1(x)\leq V(t,x)\leq W_2(x),\qquad \dot V=\frac{\partial V}{\partial t} +\nabla_xV^\top f(t,x)\leq0 $$

for every $t\geq0$ and $x\in B_r$. Then the origin is uniformly stable. If, in addition,

$$ \dot V(t,x)\leq-W_3(x) $$

for a continuous positive definite function $W_3$, then the origin is UAS. If all inequalities hold on $\mathbb R^n$ and $W_1$ is radially unbounded, then the origin is UGAS.

上下界与衰减函数都不依赖时间，这使“能量对应多大的状态”和“离原点一定距离时耗散多少”具有统一尺度。单独要求每个时刻 $V(t,\cdot)$ 正定还不够，因为这个尺度可能随时间退化。

一致渐近稳定解决估计是否统一的问题；若还希望通过一个简单公式计算误差包络，就需要更强的速率条件。

Definition 5 (Exponential Stability, 指数稳定). The origin is locally uniformly exponentially stable if there exist constants $M\geq1$, $\lambda\gt 0$, and $r\gt 0$, independent of $t_0$, such that

$$ \|x(t;t_0,x_0)\| \leq M e^{-\lambda(t-t_0)}\|x_0\|, \qquad\|x_0\|\lt r,\quad t\geq t_0. $$

If the estimate holds for every $x_0\in\mathbb R^n$, the origin is globally uniformly exponentially stable.

本文的“指数稳定”均指这种常数不依赖 $t_0$ 的定义。它是一种带指数速率的 UAS；全局版本蕴含 UGAS。反向一般不成立。例如 $\dot x=-x^3$ 的解为

$$ x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^2(t-t_0)}}, $$

原点 GAS，但不存在对所有足够小初值统一有效的指数包络：初值越小，初始相对衰减率 $-x^2$ 越接近零。

Theorem 6 (Exponential Lyapunov Criterion, 指数稳定判据). Suppose a $C^1$ function $V(t,x)$ satisfies, uniformly in $t$ and locally in $x$,

$$ c_1\|x\|^p\leq V(t,x)\leq c_2\|x\|^p, \qquad\dot V(t,x)\leq-c_3\|x\|^p, $$

where $c_1,c_2,c_3,p\gt 0$. Then the origin is locally uniformly exponentially stable, with

$$ \|x(t)\|\leq \left(\frac{c_2}{c_1}\right)^{1/p} e^{-\frac{c_3}{pc_2}(t-t_0)}\|x_0\|. $$

If the assumptions hold globally, the conclusion is global.

推导只需 $\dot V\leq-(c_3/c_2)V$，积分后再用上下界换回状态范数。常见情形是 $p=2$，但指数稳定本身并不要求候选函数必须是二次多项式。

接下来可以反问：如果系统已经指数稳定，能否保证存在这样的证书？这里必须区分“具有二次上下界”和“本身是常系数二次型”。

Theorem 7 (Converse Quadratic Bounds and a Local Quadratic Function, 逆 Lyapunov 结论). Consider an autonomous system $\dot x=f(x)$ with $f\in C^1$ near the origin and $f(0)=0$. If the origin is locally exponentially stable, then there exist $r\gt 0$, positive constants $c_1,c_2,c_3,c_4$, and a $C^1$ function $V$ on $B_r$ such that

$$ c_1\|x\|^2\leq V(x)\leq c_2\|x\|^2,\qquad \nabla V(x)^\top f(x)\leq-c_3\|x\|^2, \qquad\|\nabla V(x)\|\leq c_4\|x\|. $$

Moreover, under these autonomous $C^1$ assumptions, a constant matrix $P=P^\top\succ0$ can be chosen so that $V_q(x)=x^\top Px$ satisfies a strict quadratic decay inequality on a sufficiently small neighborhood.

第二个结论稍后由线性化和 Lyapunov 方程解释：指数稳定保证线性化矩阵 Hurwitz，线性系统的二次证书能在足够小的邻域压住非线性余项。这里得到的是局部二次函数，不能据此断言一般非线性系统都有全局二次证书；一般非自治系统也不能自动套用常系数二次型结论。

更不能把“渐近稳定”换成“指数稳定”而不作说明。对 $\dot x=-x^3$，$V=x^2$ 确实证明 GAS，但 $\dot V=-2x^4$ 无法在原点附近满足 $\dot V\leq-cx^2$，其中 $c\gt 0$ 为常数。

稳定性证书寻找能量下降；证明不稳定则可以寻找一个从任意小邻域出发都能持续增长的标量。仅发现某个候选函数在某处导数为正还不够，因为这可能只是候选函数选择不合适。

Theorem 8 (Chetaev’s Instability Criterion, Chetaev 不稳定判据). Let $\overline B_r\subset D$ and let $V\in C^1$ on a neighborhood of $\overline B_r$, with $V(0)=0$. Define

$$ U=\{x\in B_r:V(x)\gt 0\}. $$

If $0\in\partial U$ and $\dot V(x)\gt 0$ for every $x\in U$, then the origin is unstable.

$0\in\partial U$ 保证任意小邻域中都有增长区域里的初值。在 $U$ 内 $V$ 严格增长，所以轨迹不能经由 $V=0$ 的边界离开。若轨迹始终留在某个更小的闭球内，则它位于 $V\geq V(x_0)\gt 0$ 的紧集上，$\dot V$ 有严格正下界，最终与 $V$ 的有界性矛盾。因此必有任意接近原点的轨迹离开一个固定邻域。

例如鞍点系统 $\dot x_1=x_1,\ \dot x_2=-x_2$，取

$$ V=x_1^2-x_2^2,\qquad U=\{x_1^2\gt x_2^2\}\cap B_r, \qquad\dot V=2x_1^2+2x_2^2\gt 0\quad\text{on }U. $$

原点因此不稳定。这里 $V$ 不正定；它的作用是识别逃离方向，而不是约束所有方向。

进入间接方法之前，可以把前面的直接法判据放在一起。表中列出的都是充分条件；Local 与 Global 区分空间范围，Uniform 则要求估计不依赖初始时刻，因此它们不是互斥的分类。

Lyapunov Criteria at a Glance

Stability	Local (autonomous)	Global (autonomous)	Uniform (local, time-varying)
Stable	$V:\mathrm{p.d.},\ -\dot V:\mathrm{p.s.d.}$	$V:\mathrm{p.d.}+\mathrm{r.u.},\ -\dot V:\mathrm{p.s.d.}$	$W_1\leq V\leq W_2,\ -\dot V\geq0$
AS	$V:\mathrm{p.d.},\ -\dot V:\mathrm{p.d.}$	$V:\mathrm{p.d.}+\mathrm{r.u.},\ -\dot V:\mathrm{p.d.}$	$W_1\leq V\leq W_2,\ -\dot V\geq W_3$
AS (LaSalle)	$V:\mathrm{p.d.},\ -\dot V:\mathrm{p.s.d.},\ M=\{0\}$	$V:\mathrm{p.d.}+\mathrm{r.u.},\ -\dot V:\mathrm{p.s.d.},\ M=\{0\}$	—
ES	$c_1\lVert x\rVert^2\leq V\leq c_2\lVert x\rVert^2,\ -\dot V\geq c_3\lVert x\rVert^2$	$c_1\lVert x\rVert^2\leq V\leq c_2\lVert x\rVert^2,\ -\dot V\geq c_3\lVert x\rVert^2$	$c_1\lVert x\rVert^2\leq V\leq c_2\lVert x\rVert^2,\ -\dot V\geq c_3\lVert x\rVert^2$

$\mathrm{p.d.}$ = positive definite，$\mathrm{p.s.d.}$ = positive semidefinite，$\mathrm{r.u.}$ = radially unbounded；AS = asymptotically stable，ES = exponentially stable。所有候选函数均为 $C^1$，$W_1,W_2,W_3$ 均为与 $t$ 无关的连续 p.d. 函数，$c_1,c_2,c_3\gt0$ 也不依赖 $t$。自治列中 $\dot V=\nabla V^\top f$，非自治列中则包含 $\partial V/\partial t$。

Local 列的不等式只需在原点某个邻域成立，Global 列需在整个 $\mathbb R^n$ 成立。Uniform 列的条件若全局成立，且 $W_1$ 为 r.u.，便分别得到全局一致稳定和 UGAS；ES 行的二次界本身已保证径向无界，全局成立即得全局一致指数稳定。更一般地，ES 行可把所有平方同时换成同一个 $p\gt0$ 次幂。

LaSalle 行还要求使用包含原点邻域的紧正向不变子水平集，其中 $M$ 是零导数集合内的最大不变集；全局情形由 r.u. 保证各子水平集紧。Uniform 列中的横线表示前述自治 LaSalle 原理不能直接套到一般时变系统，并非表示不存在其他非自治不变性定理。

不稳定的证书单独记为 Chetaev 条件：$V(0)=0$，$U=\{V\gt0\}\cap B_r$，$0\in\partial U$，且 $\dot V\gt0$ on $U$。这是寻找局部逃离方向的判据，因此无需另设 Global 或 Uniform 列。

Lyapunov’s Indirect Method

直接法的难点往往是寻找 $V$。在平衡点附近，非线性系统可以分成线性主项与高阶余项，因此先解决线性系统，就能系统地构造局部证书。

Definition 1 (Hurwitz Matrix, Hurwitz 矩阵). A real matrix $A\in\mathbb R^{n\times n}$ is Hurwitz if all its eigenvalues have strictly negative real parts:

$$ \operatorname{Re}\lambda_i(A)\lt 0,\qquad i=1,\ldots,n. $$

对于 $\dot x=Ax$，Hurwitz 意味着 $e^{At}$ 指数衰减。特征值实部非正不足以保证这一点；虚轴上的 Jordan 块甚至会产生多项式增长。Lyapunov 方程把这个谱条件转成正定矩阵条件。

Theorem 2 (Hurwitz–Lyapunov Equivalence, Hurwitz 与 Lyapunov 方程). The following statements are equivalent:

$A$ is Hurwitz.
For every $Q=Q^\top\succ0$, the equation $$ A^\top P+PA=-Q $$ has a unique symmetric solution $P\succ0$.
There exist symmetric matrices $P\succ0$ and $Q\succ0$ satisfying this equation.

When $A$ is Hurwitz, the solution is

$$ P=\int_0^\infty e^{A^\top t}Qe^{At}\,dt. $$

积分式直接解释了正定性：对 $x\neq0$，被积函数 $(e^{At}x)^\top Q(e^{At}x)$ 为正；指数衰减保证积分有限。对被积矩阵求导再积分，便得到 Lyapunov 方程。反过来，令 $V=x^\top Px$，就有

$$ \lambda_{\min}(P)\|x\|^2\leq V(x) \leq\lambda_{\max}(P)\|x\|^2, \qquad\dot V=-x^\top Qx. $$

于是状态满足

$$ \|x(t)\|\leq \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} e^{-\frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(P)}(t-t_0)}\|x_0\|. $$

例如 $A=\operatorname{diag}(-1,-2)$，选择 $Q=I$，得到 $P=\operatorname{diag}(1/2,1/4)$。对一般矩阵也是先指定 $Q\succ0$，再求解线性矩阵方程，最后检查所得 $P$ 的正定性。

现在回到自治非线性系统。设 $f\in C^1$，把它写成

$$ f(x)=Ax+r(x),\qquad A=Df(0),\qquad \frac{\|r(x)\|}{\|x\|}\to0\quad(x\to0). $$

线性化的关键不是直接丢掉 $r(x)$，而是判断线性主项的稳定性是否足够强，能够抵消这个相对更小的余项。

Theorem 3 (Lyapunov’s Indirect Method, Lyapunov 间接法). For $\dot x=f(x)$ with $f\in C^1$ near zero and $f(0)=0$, let $A=Df(0)$.

If $A$ is Hurwitz, the origin is locally exponentially stable, hence LAS.
If $A$ has an eigenvalue with strictly positive real part, the origin is unstable.
If no eigenvalue has positive real part and at least one eigenvalue has zero real part, linearization alone is inconclusive.

第一项的证明同时给出二次候选函数的来源。解 $A^\top P+PA=-Q$，得到

$$ \dot V=-x^\top Qx+2x^\top Pr(x) \leq-\lambda_{\min}(Q)\|x\|^2 +2\|P\|\|x\|\|r(x)\|. $$

余项是 $o(\|x\|^2)$，因此缩小邻域后可得

$$ \dot V\leq-\tfrac12\lambda_{\min}(Q)\|x\|^2. $$

这解释了为什么 Hurwitz 线性化能给出局部指数稳定，也解释了为何不能只凭这一论证得到全局稳定。反方向，若原点局部指数稳定，对非线性流在零初值处求导，可得线性流也满足指数估计，因而 $A$ 必须 Hurwitz；这补足了前述局部二次证书存在性的论证。

临界情形中，高阶项决定结论。三个系统

$$ \dot x=-x^3,\qquad\dot x=x^3,\qquad\dot x=0 $$

的线性化均为 $A=0$，但分别是渐近稳定、不稳定、稳定但不吸引。因此“不是 Hurwitz”不能直接推出非线性系统不稳定。

Input-to-State Stability

前面的系统没有持续外部输入。实际系统却会受到扰动、建模误差或其他子系统的影响：即使无输入时 GAS，持续的小输入也未必只产生小状态。我们需要把“初值的影响逐渐消失”和“输入造成的残余偏差”同时写进一个估计中。

先引入比较函数。它们把固定的线性斜率和指数包络推广为一般单调增益与衰减包络。

Definition 1 (Comparison Functions, 比较函数). A continuous function $\alpha:[0,a)\to[0,\infty)$ is of class $\mathcal K$ if $\alpha(0)=0$ and $\alpha$ is strictly increasing. It is of class $\mathcal K_\infty$ if $a=\infty$ and $\alpha(s)\to\infty$ as $s\to\infty$.

A continuous function $\ell:[0,\infty)\to(0,\infty)$ is of class $\mathcal L$ if it is decreasing to zero. A continuous function $\beta:[0,\infty)^2\to[0,\infty)$ is of class $\mathcal{KL}$ if $\beta(\cdot,t)\in\mathcal K$ for every fixed $t$, and $\beta(s,\cdot)\in\mathcal L$ for every fixed $s\gt 0$.

例如 $s^2$ 属于 $\mathcal K_\infty$，$s/(1+s)$ 属于 $\mathcal K$ 但不属于 $\mathcal K_\infty$；$\beta(s,t)=se^{-t}$ 和 $s/\sqrt{1+2s^2t}$ 都属于 $\mathcal{KL}$。后者来自 $\dot x=-x^3$，说明比较函数既能表达指数衰减，也能表达更慢的衰减。

在前述适定性条件下，UGAS 可以等价地表达为存在 $\beta\in\mathcal{KL}$，使

$$ \|x(t;t_0,x_0)\|\leq\beta(\|x_0\|,t-t_0). $$

局部版本将初值限制在邻域内。ISS 正是在这个无输入估计上增加一个输入增益项。

考虑

$$ \dot x=f(x,u),\qquad f(0,0)=0, $$

其中 $f$ 关于 $(x,u)$ 局部 Lipschitz，输入 $u$ 可测且局部本质有界。记

$$ \|u\|_{\infty,[t_0,t]} =\operatorname*{ess\,sup}_{t_0\leq s\leq t}\|u(s)\|. $$

本质上确界忽略零测集上的取值变化，与微分方程中几乎处处定义的输入一致。

Definition 2 (Input-to-State Stability, 输入到状态稳定). The system is input-to-state stable (ISS) if it is forward complete and there exist $\beta\in\mathcal{KL}$ and $\gamma\in\mathcal K_\infty$ such that, for every initial state and every locally essentially bounded input,

$$ \|x(t;t_0,x_0,u)\| \leq\beta(\|x_0\|,t-t_0) +\gamma(\|u\|_{\infty,[t_0,t]}),\qquad t\geq t_0. $$

有时定义允许 $\gamma\in\mathcal K$；可用一个 $\mathcal K_\infty$ 上界替代，因此这里统一使用后一种形式。令 $u=0$ 恢复 UGAS；有界输入使状态有界，输入幅度越小，长期可达到的偏差上界也越小。若 $u(t)\to0$，还可从任意较晚时刻重启 ISS 估计，推出 $x(t)\to0$。只把整个历史输入范数代入一次，通常看不出最后这个结论。

例如 $\dot x=-ax+u$，$a\gt 0$，由变分公式得到

$$ |x(t)|\leq e^{-a(t-t_0)}|x_0| +\frac1a\|u\|_{\infty,[t_0,t]}. $$

其中第一项是遗忘初值的过程，第二项给出持续扰动被放大的程度。

无输入 GAS 不自动保证 ISS。例如 $\dot x=-x+ux^2$ 在 $u=0$ 时全局指数稳定，但任意常数输入 $u=\varepsilon\gt 0$ 都会使足够大的正初值发生有限时间逃逸，因此不是 ISS。

Theorem 3 (ISS Lyapunov Criterion, ISS 判据). Suppose there exist $V\in C^1(\mathbb R^n)$, $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathcal K_\infty$, and $\sigma\in\mathcal K_\infty$ such that, for all $x,u$,

$$ \alpha_1(\|x\|)\leq V(x)\leq\alpha_2(\|x\|), \qquad \nabla V(x)^\top f(x,u) \leq-\alpha_3(\|x\|)+\sigma(\|u\|). $$

Then the system is ISS. Another sufficient form replaces the derivative inequality by

$$ \|x\|\geq\chi(\|u\|) \quad\Longrightarrow\quad \nabla V(x)^\top f(x,u)\leq-\alpha(\|x\|), $$

where $\chi,\alpha\in\mathcal K_\infty$ and the same bounds on $V$ hold.

耗散形式把能量变化分成内部衰减和输入注入；蕴含形式则说，只要状态超过由输入决定的阈值，能量就必须下降。前一形式选

$$ \chi(s)=\alpha_3^{-1}(2\sigma(s)) $$

便可得到阈值之外 $\dot V\leq-\alpha_3(\|x\|)/2$。正定且径向无界的上下界还保证有界输入不会造成有限时间逃逸。

对于 $\dot x=-ax+u$，取 $V=x^2/2$，由 Young 不等式

$$ \dot V=-ax^2+xu \leq-\frac a2x^2+\frac{1}{2a}u^2, $$

即可验证 ISS。这个证书很容易检查，不过从不等式提取的增益可能比显式解给出的 $1/a$ 更保守。

ISS 控制整个内部状态。有时我们只关心可测输出 $y=h(x,u)$，例如位置误差、传感器信号或一个子系统传给另一个子系统的变量。这时需要明确“输入大小”和“输出大小”如何度量。

Definition 4 (Norm and Signal Norms, 范数与信号范数). A norm on a real vector space satisfies positive definiteness, absolute homogeneity, and the triangle inequality:

$$ \|z\|\geq0,\quad\|z\|=0\iff z=0,\qquad \|cz\|=|c|\|z\|,\qquad \|z+w\|\leq\|z\|+\|w\|. $$

For a measurable vector signal $z:[t_0,T]\to\mathbb R^m$, define

$$ \|z\|_{p,[t_0,T]}= \left(\int_{t_0}^{T}\|z(t)\|^p\,dt\right)^{1/p}, \quad1\leq p\lt \infty, $$

and

$$ \|z\|_{\infty,[t_0,T]}= \operatorname*{ess\,sup}_{t_0\leq t\leq T}\|z(t)\|. $$

The spaces $L_p$ consist of signals with finite norm on the infinite time interval, identifying signals that agree almost everywhere.

$L_\infty$ 衡量峰值幅度，$L_2$ 的平方衡量能量。一个非零常值输入属于 $L_\infty$，却不属于无限时间区间上的 $L_2$，所以“有界输入”和“有限能量输入”是不同要求。

Definition 5 (Input-to-Output Stability, 输入到输出稳定). A forward-complete state-space system with output $y=h(x,u)$, $h(0,0)=0$, is input-to-output stable (IOS) if there exist $\beta\in\mathcal{KL}$ and $\gamma\in\mathcal K_\infty$ such that

$$ \|y(t)\|\leq\beta(\|x_0\|,t-t_0) +\gamma(\|u\|_{\infty,[t_0,t]}). $$

For measurable inputs and outputs, the estimate is understood almost everywhere. When $y=x$, IOS reduces to ISS.

这里初值项通常依赖完整状态 $x_0$，不能无条件换成 $y(t_0)$：相同初始输出可能隐藏不同的内部状态。IOS 也不要求隐藏状态稳定。例如

$$ \dot x_1=-x_1+u,\qquad\dot x_2=x_2,\qquad y=x_1 $$

是 IOS，但不是 ISS，因为 $x_2$ 可以增长。它同时提醒我们：由输入输出结论推断内部稳定，通常还需要可检测性等额外条件。Sontag–Wang 的 IOS 论文系统区分了这些输出稳定性概念。

做信号互联分析时，还常使用以下范数形式；它与上面的点态 IOS 定义应当分别说明。

Definition 6 (Finite-Gain $L_p$ Stability, 有限增益稳定). A causal input-output operator $H$ is finite-gain $L_p$ stable if there exist constants $g,b\geq0$ such that, for every finite $T$,

$$ \|Hu\|_{p,[t_0,T]}\leq g\|u\|_{p,[t_0,T]}+b. $$

Here $b$ represents an allowed initial-condition contribution; for a zero-state operator one commonly takes $b=0$.

这个形式用常数增益比较两条完整信号，适合直接代入反馈连接。IOS 则保留了初值影响随时间消失的结构，并允许非线性增益；二者不能仅因都叫“输入输出稳定”就混用。

单个模块稳定后，下一步自然是把模块连起来。但每个模块都稳定，不保证反馈互联稳定：一个模块产生的输出会被另一个放大，然后再次返回。Small-gain 条件要求这条循环的总放大不足以维持自我增长。

考虑因果模块与外部输入的反馈关系

$$ y_1=H_1(u_1),\qquad y_2=H_2(u_2),\qquad u_1=r_1+y_2,\qquad u_2=r_2+y_1. $$

符号为负反馈时同样可用范数估计；以下条件不依赖反馈符号，因此只是充分条件。首先必须假设互联适定，即每组外部输入都确定唯一的因果内部信号；存在直接馈通时，这不是自动成立的。

Theorem 7 (Finite-Gain Small-Gain Theorem, 有限增益小增益定理). Suppose the feedback interconnection is well posed and each subsystem satisfies, on every finite horizon,

$$ \|y_i\|_{p,[t_0,T]}\leq g_i\|u_i\|_{p,[t_0,T]}+b_i, \qquad i=1,2. $$

If $g_1g_2\lt 1$, then the interconnection is finite-gain $L_p$ stable with respect to $(r_1,r_2)$.

写 $Y_i=\|y_i\|_{p,[t_0,T]}$、$R_i=\|r_i\|_{p,[t_0,T]}$，代入两次即可得到

$$ (1-g_1g_2)Y_1 \leq g_1R_1+g_1g_2R_2+b_1+g_1b_2, $$

以及

$$ (1-g_1g_2)Y_2 \leq g_2R_2+g_1g_2R_1+b_2+g_2b_1. $$

所以 $g_1g_2\lt 1$ 的作用非常直接：把循环影响移到左边后，仍有一个正的余量。界与 $T$ 无关，因而可以延伸到整个时间区间。若条件失败，这个判据无法认证稳定，并不意味着所有这样的互联都不稳定。

在线性增益之外，ISS 提供了非线性互联版本。为了避免把加法形式中的增益直接代入后遗漏裕量，下面明确使用最大值形式。

Theorem 8 (Nonlinear ISS Small-Gain Theorem, 非线性 ISS 小增益定理). Consider a locally Lipschitz interconnection

$$ \dot x_1=f_1(x_1,x_2,u),\qquad \dot x_2=f_2(x_2,x_1,u). $$

Suppose, on every interval of existence, each subsystem satisfies

$$ \|x_i(t)\|\leq\max\left\{ \beta_i(\|x_i(t_0)\|,t-t_0), \gamma_{ij}(\|x_j\|_{\infty,[t_0,t]}), \gamma_i(\|u\|_{\infty,[t_0,t]}) \right\},\qquad j\neq i, $$

where $\beta_i\in\mathcal{KL}$ and all gains belong to $\mathcal K_\infty$. If

$$ (\gamma_{12}\circ\gamma_{21})(s)\lt s \qquad\text{for every }s\gt 0, $$

then the full state $(x_1,x_2)$ is ISS with respect to $u$. In particular, the zero-input interconnection is GAS.

这里 $\gamma_{12}$ 表示 $x_2$ 对 $x_1$ 的影响，复合增益对应扰动绕反馈环一周后的大小。严格小于恒等函数意味着循环无法维持一个非零幅度。定理同时给出整体有界性和向前完整性；外部输入设为零后，整体状态趋于原点。一般互联的小增益框架可参见 Ingalls–Sontag。

例如

$$ \dot x_1=-a_1x_1+b_1x_2+u_1,\qquad \dot x_2=-a_2x_2+b_2x_1+u_2,\qquad a_1,a_2\gt 0. $$

由显式积分先得到加法估计，内部线性增益分别为 $|b_1|/a_1$ 与 $|b_2|/a_2$。若

$$ \frac{|b_1b_2|}{a_1a_2}\lt 1, $$

可略微放大这些内部增益并保留严格余量，再把初值项和外部输入项一起改写成最大值估计，应用非线性小增益定理。注意不能把三项之和无代价地换成三项最大值；需要分配余量，可能增大增益。

这个例子也把整篇文章连接起来：线性化和 Lyapunov 方程帮助验证模块的内部稳定，ISS 量化模块承受输入的能力，小增益条件再检查反馈是否会放大这些影响。如果手里只有输出增益，得到的首先是输入输出结论；要断言全部内部状态收敛，还需要相应的状态稳定性或可检测性信息。

Further Reading

本文的主线是先用能量约束轨迹，再用不变性识别极限行为；随后把时间一致性、收敛速率、外部输入和反馈互联逐步纳入同一套估计。阅读时尤其需要保留各定理的作用域：局部或全局、自治或非自治、状态或输出，以及所用增益是加法形式还是最大值形式。

H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed., Chapters 4–6. Author’s book page.
H. K. Khalil, Nonlinear Control, Lecture 3. Author’s slides on invariance and exponential stability.
E. D. Sontag, Input to State Stability: Basic Concepts and Results. Author’s chapter.
E. D. Sontag and Y. Wang, Notions of Input to Output Stability. Paper.
B. Ingalls and E. D. Sontag, A Small-Gain Theorem with Applications to Input/Output Systems, Incremental Stability, Detectability, and Interconnections. Paper.